直观理解梯度,以及偏导数、方向导数和法向量等

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写在前面

梯度是微积分中的基本概念,也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具(梯度下降算法),虽然常说常听常见,但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下,这些不清楚,梯度就成了“熟悉的陌生人”,仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实,为了“用得放心”,本文将尝试直观地回答以下几个问题,

  • 梯度与偏导数的关系?
  • 梯度与方向导数的关系?
  • 为什么说梯度方向是上升最快的方向,负梯度方向为下降最快的方向?
  • 梯度的模有什么物理意义?
  • 等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线?
  • 全微分与隐函数的梯度有什么关系?
  • 梯度为什么有时又成了法向量?

闲话少说,书归正传。在全篇“作用域”内,假定函数可导。

偏导数

在博文《单变量微分、导数与链式法则 博客园 | CSDN | blog.shinelee.me》中,我们回顾了常见初等函数的导数,概括地说,

导数是一元函数的变化率(斜率)。导数也是函数,是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢?则为偏导数

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数,这里“退化”的意思是固定其他变量的值,只保留一个变量,依次保留每个变量,则$N$元函数有$N$个偏导数。

以二元函数为例,令$z=f(x,y)$,绘制在3维坐标系如下图所示,

z = f(x, y)
z = f(x, y)

在分别固定$y$和$x$的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数,二维坐标系中的曲线——则偏导数$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别为曲线的导数(切线斜率)

partial derivative x
partial derivative x

partial derivative y
partial derivative y

由上可知,一个变量对应一个坐标轴,偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数(切线斜率)

Partial derivative
Partial derivative

方向导数

如果说方向不是沿着坐标轴方向,而是任意方向呢?则为方向导数。如下图所示,点$P$位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率,来自链接Directional Derivative

Directional Derivative
Directional Derivative

方向导数为函数在某一个方向上的导数,具体地,定义$xy$平面上一点$(a, b)$以及单位向量$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$,在曲面$z=f(x, y)$上,从点$(a,b, f(a,b))$出发,沿$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$方向走$t$单位长度后,函数值$z$为$F(t)=f(a+t \cos \theta, b + t \sin \theta)$,则点$(a,b)$处$\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )$方向的方向导数为:
$$
\begin{aligned} &\left.\frac{d}{d t} f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta)\right|_{t=0} \\
=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\
=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b+t \sin \theta)}{t} + \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\
=& \frac{\partial}{\partial x} f(a, b) \frac{d x}{d t}+\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \frac{d y}{d t} \\
=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\
=&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned}
$$
上面推导中使用了链式法则。其中,$f_x (a, b)$和$f_y (a, b)$分别为函数在$(a, b)$位置的偏导数。由上面的推导可知:

该位置处,任意方向的方向导数为偏导数的线性组合,系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时,方向导数即偏导数,换句话说,偏导数为坐标轴方向上的方向导数,其他方向的方向导数为偏导数的合成

写成向量形式,偏导数构成的向量为$\nabla f(a, b) = (f_x (a, b), f_y (a, b))$,称之为梯度

梯度

梯度,写作$\nabla f$,二元时为$(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{z}}{\partial{y}})$,多元时为$(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{z}}{\partial{y}},\dots)$。

我们继续上面方向导数的推导,$(a,b)$处$\theta$方向上的方向导数为
$$
\begin{aligned}
&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \\
=& |((f_x (a, b), f_y (a, b))| \cdot |1| \cdot \cos \phi \\
=& |\nabla f(a,b)| \cdot \cos \phi
\end{aligned}
$$
其中,$\phi$为$\nabla f(a,b)$与$\vec u$的夹角,显然,当$\phi = 0$即$\vec u$与梯度$\nabla f(a,b)$同向时方向导数取得最大值最大值为梯度的模$|\nabla f(a,b)|$,当$\phi = \pi$即$\vec u$与梯度$\nabla f(a,b)$反向时方向导数取得最小值,最小值为梯度模的相反数。此外,根据上面方向导数的公式可知,在夹角$\phi < \frac{\pi}{2}$时方向导数为正,表示$\vec u$方向函数值上升,$\phi > \frac{\pi}{2}$时方向导数为负,表示该方向函数值下降。

至此,方才有了梯度的几何意义

  1. 当前位置的梯度方向,为函数在该位置处方向导数最大的方向,也是函数值上升最快的方向,反方向为下降最快的方向;
  2. 当前位置的梯度长度(模),为最大方向导数的值。

等高线图中的梯度

在讲解各种优化算法时,我们经常看到目标函数的等高线图示意图,如下图所示,来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain

Kl27an.png
Kl27an.png

图中,红点为当前位置,红色箭头为梯度,绿色箭头为其他方向,其与梯度的夹角为$\theta$。

将左图中$z=f(x, y)$曲面上的等高线投影到$xy$平面,得到右图的等高线图。

梯度与等高线垂直。为什么呢?

等高线,顾名思义,即这条线上的点高度(函数值)相同,令某一条等高线为$z=f(x,y)=C$,$C$为常数,两边同时全微分,如下所示
$$
\begin{aligned} dz = &\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\
=& (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (dx, dy) \\
=& dC = 0
\end{aligned}
$$
这里,两边同时全微分的几何含义是,在当前等高线上挪动任意一个极小单元,等号两侧的变化量相同。$f(x, y)$的变化量有两个来源,一个由$x$的变化带来,另一个由$y$的变化带来,在一阶情况下,由$x$带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial x} dx$,由$y$带来的变化量为$\frac{\partial f}{\partial y} dy$,两者叠加为$z$的总变化量,等号右侧为常数,因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元,其变化量为0,左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式,$(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$为梯度,$(dx, dy)$为该点指向任意方向的极小向量,因为两者内积为0,所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。

更进一步地,梯度方向指向函数上升最快的方向,在等高线图中,梯度指向高度更高的等高线

隐函数的梯度

同理,对于隐函数$f(x,y)=0$,也可以看成是一种等高线。二元时,两边同时微分,梯度垂直于曲线;多元时,两边同时微分,梯度垂直于高维曲面。

即,隐函数的梯度为其高维曲面的法向量

有了法向量,切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线$f(x , y)$上一点为$(a,b)$,通过全微分得该点的梯度为$(f_x, f_y)$,则该点处的切线为$f_x (x-a) + f_y (y-b) = 0$,相当于将上面的微分向量$(dx, dy)$替换为$(x-a, y-b)$,其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。

小结

至此,文章开篇几个问题的答案就不难得出了,

  • 偏导数构成的向量为梯度;
  • 方向导数为梯度在该方向上的合成,系数为该方向的单位向量;
  • 梯度方向为方向导数最大的方向,梯度的模为最大的方向导数;
  • 微分的结果为梯度与微分向量的内积
  • 等高线全微分的结果为0,所以其梯度垂直于等高线,同时指向高度更高的等高线
  • 隐函数可以看成是一种等高线,其梯度为高维曲面(曲线)的法向量

以上。

参考

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