仿射变换及其变换矩阵的理解

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写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示:

Basic set of 2D planar transformations
Basic set of 2D planar transformations

这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation),而将重点放在仿射变换(affine transformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换,以及这些变换任意次序次数的组合

affine transformations
affine transformations

平移(translation)和旋转(rotation)顾名思义,两者的组合称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid transformation);

放缩(scaling)可进一步分为uniform scalingnon-uniform scaling,前者每个坐标轴放缩系数相同(各向同性),后者不同;如果放缩系数为负,则会叠加上反射(reflection)——reflection可以看成是特殊的scaling;

刚体变换+uniform scaling 称之为,相似变换(similarity transformation),即平移+旋转+各向同性的放缩;

剪切变换(shear mapping)将所有点沿某一指定方向成比例地平移,语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示:

transformations venn diagram
transformations venn diagram

通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述:

不同变换对应的$a, b, c, d$约束不同,排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换(linear transformation),其涵盖的变换如上面的venn图所示,其特点是原点位置不变多次线性变换的结果仍是线性变换

为了涵盖平移,引入齐次坐标,在原有2维坐标的基础上,增广1个维度,如下所示:

所以,仿射变换的变换矩阵统一用 $\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right]$来描述,不同基础变换的$a,b,c,d,e,f$约束不同,如下所示:

VuEg5n.png
VuEg5n.png

此外,旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵,如下,有3个自由度($\theta, t_x, t_y$),这里旋转方向为逆时针方向,因此与上图中的正负号不同,

再乘上uniform scaling得到相似变换,有4个自由度($s, \theta, t_x, t_y$),如下:

自然,仿射变换的变换矩阵有6个自由度($a,b,c,d,e,f$)。

变换矩阵的理解与记忆

rotate matrix
rotate matrix

坐标系坐标原点基向量决定,坐标原点基向量确定了,坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置$(x, y)$,其相对坐标原点在$[1, 0]$方向上的投影为$x$,在$[0, 1]$方向上的投影为$y$——这里投影的意思是过$(x, y)$做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离,即$(x, y)$实际为:

当坐标系变化,坐标系中的点也跟着变化,但点相对新坐标系($x’-y’$坐标系)的位置不变仍为$(x, y)$,以旋转变换为例,新坐标轴的基向量则变为$[\cos (\theta), \sin (\theta)]$和$[-\sin (\theta), \cos (\theta)]$,所以点变化到新位置为:

新位置和新基向量是相对绝对坐标系($x-y$坐标系)而言的。其他变换矩阵同理。

总结一下:

  • 所有变换矩阵只需关注一点:坐标系的变化,即基向量和原点的变化
  • 坐标系变化到哪里,坐标系中的所有点也跟着做同样的变化
  • 坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化,在仿射变换矩阵 $\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]$中, $\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]$和$\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]$为新的基向量,$\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]$为新的坐标原点,先变化基向量,再变化坐标原点;

这时再对照上面的各种变换矩阵,就很好理解了。

Hierarchy of 2D coordinate transformations
Hierarchy of 2D coordinate transformations

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集,如何估计指定变换矩阵的参数?

一对对应点可以列两个线性方程,多个对应点可以列出线性方程组,为了求解参数,需要的对应点数至少为自由度的一半,多个点时构成超定方程组,可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解,这里不再展开。

参考

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