高斯滤波对图像方差有什么影响

均值与方差

首先回忆下均值和方差的定义,若存在$n$个数为$x_1, x_2, \dots, x_n$,则均值$\mu$为:

$$\mu = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$

均值衡量的是数值集中在哪个数值附近。令标准差为$\sigma$,则方差$\sigma^2$为:

$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2$$

标准差用于衡量数值分布距离均值的平均距离,即数据的集中程度。

定性分析

定性地分析,高斯滤波(平滑)对图像进行平滑会让当前像素与周围像素更加接近,像素间更加接近自然方差会变小。从频域角度,高斯滤波相当于低通滤波,会移除图像中“突兀”的高频成分,剩下的自然是相对“不突兀”的部分,反映在方差上就会变小。

定量分析

定量地看,若不对图像进行任何假设,认为每个像素符合独立同分布,其均值和方差分别为$\mu$和$\sigma^2$,对其进行高斯滤波,假定窗口内共有$n$个像素,灰度值为$x_1, x_2, \dots, x_n$,对应的高斯权重为$g_1, g_2, \dots, g_n$,有$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$,则滤波后的当前像素的值为:

$$y = \sum_{i=1}^{n} g_i x_i$$

$y$的方差即:

$$Var(y) = Var(\sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +\dots+g_n x_n)$$

其中当高斯核确定后,$g_1, g_2, \dots, g_n$为常数,因为$x_1, x_2, \dots, x_n$相互独立且同分布,则进一步地

$$Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+\dots+g_n^2Var(x_n)=\sigma_2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2$$

由上$\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0$,$\forall g_i <1$,则$\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1$,所以$Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2$,即经过高斯滤波后方差变小。

这里并不限于高斯滤波,对其他平滑滤波器同样试用——只需满足上述权重条件即可,即平滑滤波器将降低图像的方差。

当然,也可以从连续角度分析,具体可见参考部分。

参考

出自本人博客:高斯滤波对图像方差有什么影响

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